\documentclass[twoside,a4paper,leqno,11pt]{book} \usepackage[greek]{babel} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage{srcltx} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% New theorems %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newtheorem{theorem}{Θεώρημα}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Λήμμα} \newtheorem{proposition}[theorem]{Πρόταση} \newtheorem{application}[theorem]{Εφαρμογή} \newtheorem{corollary}[theorem]{Πόρισμα} \newtheorem{definition}[theorem]{Ορισμός} \newtheorem{exercise}[theorem]{Άσκηση} \newtheorem{example}[theorem]{Παράδειγμα} \newtheorem{examples}[theorem]{Παραδείγματα} \newtheorem{problem}[theorem]{Πρόβλημα} \newtheorem{remark}[theorem]{Παρατήρηση} \newtheorem{remarks}[theorem]{Παρατηρήσεις} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Document starts %%%%%%%%%%%% \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Απειροστικός Λογισμός ΙΙ} \textbf{Πρόχειρες Σημειώσεις} \textbf{Τμήμα Μαθηματικών} \textbf{Πανεπιστήμιο Αθηνών} \textbf{2010--11} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Υπακολουθίες} \begin{definition} \upshape Έστω $(a_n)$ μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η ακολουθία $(b_n)$ λέγεται \textit{υπακολουθία} της $(a_n)$ αν υπάρχει γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών $k_1 < k_2< \cdots < k_n < k_{n+1}<\cdots $ ώστε $$b_n = a_{k_n}\;\hbox{ για κάθε }\;n \in {\mathbb N}.\leqno (1.1.1)$$ Με άλλα λόγια, οι όροι της $(b_n)$ είναι οι $a_{k_1}, a_{k_2}, \ldots, a_{k_n}, \ldots $, όπου $k_1 < k_2< \cdots < k_n < k_{n+1}<\cdots$. Γενικά, μια ακολουθία έχει πολλές (συνήθως άπειρες το πλήθος) διαφορετικές υπακολουθίες. \end{definition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Σειρές πραγματικών αριθμών} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Σύγκλιση σειράς} \begin{definition} \upshape Έστω $(a_k)$ μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. Θεωρούμε την ακολουθία $$s_n=a_1+\cdots +a_n.\leqno (2.1.1)$$ Δηλαδή, $$s_1=a_1,\ s_2=a_1+a_2,\ s_3=a_1+a_2+a_3,\ \ldots \leqno (2.1.2)$$ Το σύμβολο $\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ είναι η \textit{σειρά} με $k$-οστό όρο τον $a_k$. Το άθροισμα $s_n=\sum_{k=1}^na_k$ είναι το \textit{$n$-οστό μερικό άθροισμα} της σειράς $\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ και η $(s_n)$ είναι η {\it ακολουθία των μερικών αθροισμάτων} της σειράς $ \sum_{k = 1}^{\infty }a_k$. Αν η $(s_n)$ συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό $s$, τότε γράφουμε $$s = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots\ \hbox{ή}\ s=\sum_{k=1}^{\infty }a_k\leqno (2.1.3)$$ και λέμε ότι η σειρά \textit{συγκλίνει} (στο $s$), το δε όριο $s=\lim_{n\to\infty }s_n$ είναι το \textit{άθροισμα} της σειράς. \end{definition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Ολοκλήρωμα \textlatin{Riemann}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Ο ορισμός του \textlatin{Darboux}} Σε αυτήν την παράγραφο δίνουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος \textlatin{Riemann} για \textbf{φραγμένες} συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα κλειστό διάστημα. Για μια φραγμένη συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ με μη αρνητικές τιμές, θα θέλαμε το ολοκλήρωμα να δίνει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο γράφημα της συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα $y=0$ και τις κατακόρυφες ευθείες $x=a$ και $x=b$. \begin{definition} \upshape (α) Έστω $[a,b]$ ένα κλειστό διάστημα. \textbf{Διαμέριση} του $[a,b]$ θα λέμε κάθε πεπερασμένο υποσύνολο $$P =\{ x_0,x_1,\ldots ,x_n\}\leqno (4.1.1)$$ του $[a,b]$ με $x_0=a$ και $x_n=b$. Θα υποθέτουμε πάντα ότι τα $x_k\in P $ είναι διατεταγμένα ως εξής: $$a=x_0